הקשר שבין מתמטיקה, אסטתיקה והתיאוריות הפיסיקליות הגדולות באמת הלך והתגבש במסע מפותל שהחל לפני אלפי שנים ועדיין לא הגיע אל קיצו.
חישובים של משוואות ריבועיות הופיעו לראשונה בכתבי הבבלים שנזקקו לכלים לחישוב שטחים. הפיתרון הכללי של המשוואה הריבועית, הנלמד היום בבתי הספר, פותח ע"י שדרה ארוכה של מתמטיקאים במשך שלושת אלפים שנה עד שנוסח באופן מלא במאה ה- 12. הפתרונות של המשוואות מהמעלה השלישית והרביעית פותחו בסדרה של סיפורים דרמטיים על אנשים מיוחדים ויצרו את המוטיבציה להמשיך ולפתור את המעלה החמישית.
את פריצת הדרך הגדולה בתחום זה השיגו שני מתמטיקאים צעירים, שלא הכירו זה את זה ולא זכו להכרה על תרומתם בחייהם. נילס הנריק אבּל (1802-1829) ואוואריסט גלואה (1811-1832) שמתו בשנות העשרים לחייהם, קידמו את המחשבה המתמטית במספר צעדי ענק וסיפקו את הבסיס למספר תחומי מחקר מתקדמים חדשים. בניסיון לפתור את המשוואה הכללית מהמעלה החמישית מצאו אבּל וגלואה הוכחה כי בעצם אין פיתרון כללי שכזה.
למרות שלא מצאו את הפיתרון שאותו חיפשו, תרמו אבּל וגלואה כלים ותורות חדשות למתמטיקה וביניהן את תורת החבורות.
חבורה ( Group) היא סוג של קבוצה (set ) הכולל מספר אברים שביניהם
מוגדרת פעולה מסוימת,
פעולת החבורה. לדוגמא, חבורת המספרים השלמים ופעולת החיבור. לחבורה ארבע תכונות המגדירות אותה: סגירות (תוצר
הפעולה על שני איברים חייב להיות איבר בעצמו), קיבוציות (ביצוע הפעולה על שלושה איברים או יותר מתאפשר ע"י ביצוע הפעולה על כל שניים ואח"כ בין התוצאה והאיבר הנותר), איבר זהות (איבר בחבורה שביצוע הפעולה עליו ועל איבר אחר - ישאיר את האיבר ללא שינוי) ואיבר הופכי (לכל איבר בחבורה איבר הופכי שהפעולה ביניהם מייצרת את איבר הזהות).
גם את אוסף
התמורות שניתן לעשות על חבורה
מסוימת ניתן לתאר כחבורה. לדוגמא, התמורות שניתן לבצע על משולש שווה צלעות (ועדיין לשמור על תכונותיו), כגון סיבוב ב- 120 מעלות, סיבוב ב- 240
מעלות וכו' - יכולות להחשב כחבורה כאשר פעולת החבורה מוגדרת כ"שאחריו בא" - כלומר, סיכום כרונולוגי של שתי פעולות התמרה של משולש.
היכולת להפעיל חבורת תמורות אחת על מספר הקשרים מאפשרת להשתמש בכללי חבורה ידועה על חבורות אחרות באמצעות סימטריה.
תקצירים נוספים אודות שפת הסימטריה