ילדים קטנים, עוד מגיל צעיר לומדים
אלגברה, אבל כנראה שאף-אחד לא אמר להם מה זה בכלל אלגברה?
ובכן, חלק גדול מהאלגברה הפשוטה
(הנלמדת בביה"ס היסודי ובתחילת התיכון) מתבססת על כמה משפטים פשוטים שלא ניתן להוכיח ע"י האלגברה, ולא ניתן לסתור אותה. המשפטים נקראים לעיתים "
אכסיומה" מקור המילה "אכסיומה" הוא מיוונית עתיקה שפירושה "עיקרון מובן מאליו".
כל גודל שווה לעצמו, כאילו דה! נשמע ברור, לא? נראה אתכם מוכחים זאת, אי-אפשר! זו הנחת יסוד. 1=1, 2=2, 3=3, וכך הלאה (כולל את כל המספרים בכל הקבוצות!)
כל פעולה על גדלים שווים נותנת גדלים שווים קיימים המון ניסוחים למשפט זה, אבל העיקרון דומה. יש לי משוואה נניח, 1=1, ויש לי עוד משוואה 2=2. אני יכול להוכיח שהאגפים בכל צד בשתי המשוואות שווים, עפ"י האכסיומה. עפ"י המשפט השני, אם ניקח את המשוואה הראשונה ונוסיף לה את המשוואה השניה, נקבל משוואה נכונה!
1=1
+
2=2
_____________
3=3
וזה תקף לכל פעולת חשבון שנעשה על שני האגפים, כפל, חילוק, ועוד, פחות...
יש עוד אכסיומות שאני לא רואה טעם לדבר עליהם כי הן לא קשורות לאלגברה.
מה הקשר למה שאנחנו לומדים בביה"ס?
עיקרון "סידור האגפים" במשוואה, מתבסס על מה שנאמר לעיל, לדוגמה:
2x+4=2
כדי לבודד את ה-2x אנו נחסר משני האגפים 4. ולאחר מכן נחלק ב-2.
2x+4-4=2-4
2x=-2
X=-1
לא מדובר רק במספרים שמקיימים את האכסיומות, גם בפרמטרים, משתנים!
ועל אותו עיקרון פועל רעיון פתירת משוואות בשני נעלמים:
2x+y=6
x-y=0
ניתן לפתור בשתי דרכים:
1) בביה"ס שיטה זו נקראת השוואת מקדמים, אבל היא מתבססת על האכסיומה "חיבור גדלים שווים מגדלים שווים נותנת גדלים שווים".
הרעיון פשוט, מגעים למצב שכאשר נחבר את המשוואות נקבל משוואה בעלת משתנה אחד, בדוגמה לעיל, הדבר פשוט, כי קל לראות שכאשר נחבר את המשוואות y יעלם (y-y=0).
3x+0=6
X=2
כדי למצוא את y רק נשאר להציב, באחד המשואות.
2) לבודד משתנה! להגיע למצב שנקבל x=? או y=?. קל לראות כי אם נוסיף למשוואה השניה y=y נקבל:
x-y+y=0+y
x=y
ובעצם, כל שנשאר לנו זה להציב במשוואה הראשונה, או את X או את Y, זה לא משנה.
2x+x=6
3x=6
X=2
על-פי המשוואה x=y נקבל שהפתרון למערכת המשוואות הוא x=2, y=2.
לסיכום, לדעתי חשוב מאוד להבין את הנושא הזה למרות שהוא נשמע קצת "פשוט מידי" אך הוא מפשט את כל רעיון האלגברה.